중력/구각 정리

최근 수정 시각: (5년 전)
구각 정리에서 넘어옴
분류
목차
1. 개요2. 유형 1: 구각
2.1. 구각 외부2.2. 공동 내2.3. 구각 내부2.4. 결과 종합
3. 유형 2: 구4. 유형 3: 구각 표면에만 질량이 분포하는 경우5. 여담

1. 개요 [편집]

구각 정리는 균일한 밀도를 가지는 구각(spherical shell)[1] 내·외부의 중력장이 어떻게 되는지 구하는 문제이다.

뉴턴(S. I. Newton; 1643~1727)이 먼저 이 문제를 해결했기 때문에 뉴턴의 구각 정리라고도 부른다.

2. 유형 1: 구각 [편집]

아래와 같은 내부 반지름이 aa이고, 외부 반지름이 bb, 균일한 밀도 ρ\rho로 질량이 분포하는 구각 내·외부의 중력장을 구하고자 한다. (그림은 구를 자른 단면이다.)

파일:나무_구각정리_개요.png

중력장은 벡터이므로 더할 때 방향을 고려해야 한다는 점이 까다롭기 때문에 스칼라인 (즉 방향을 고려할 필요가 없는) 퍼텐셜을 구하고 이를 미분함으로써 우회적으로 중력장을 구하는 트릭을 사용할 것이다.

2.1. 구각 외부 [편집]

파일:나무_구각정리_외부.png

각 점의 의미는 아래와 같다.
  • O\mathrm{O}: 구각의 중심
  • P\mathrm{P}: 관측점
  • M\mathrm{M}: 구각의 미소 부피

우선 관측점이 구각 외부에 있을 때(r>br>b)의 상황을 보도록 하자. 이 상황에서 관측점에서 중력 퍼텐셜은

Φ(r)=−Gρ∫abr′2 dr′∫0πsin⁡θR dθ∫02πdϕ=−2πGρ∫abr′2 dr′∫0πsin⁡θR dθ\displaystyle \begin{aligned} \Phi \mathbf{(r)}&=-G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \int_{0}^{2 \pi} d \phi \\ &=-2 \pi G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \end{aligned}

제2 코사인 법칙에 의해

R2=r2+r′2−2rr′cos⁡θ\displaystyle R^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos{\theta}

으로 쓸 수 있다. 그런데, 관측 지점은 고정된 것이므로 변수는 r′r'과 RR, θ\theta이다. 그런데, r′r'을 상수로 취급하고 RR에 대해 미분한다면,

2R dR=2rr′sin⁡θ dθ\displaystyle 2R\,dR=2rr'\sin{\theta}\,d\theta

따라서

sin⁡θR dθ=1rr′ dR\displaystyle \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta =\frac{1}{rr'}\,dR

이상에서 중력 퍼텐셜 식은

Φ(r)=−2πGρr∫abr′ dr′∫dR\displaystyle \Phi(r)=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int dR

이 된다. 그런데, 위 상황에서

r−r′≤R≤r+r′\displaystyle r-r' \leq R \leq r+r'

이므로

Φ(r)=−2πGρr∫abr′ dr′∫r−r′r+r′dR=−4πGρ3r(b3−a3)\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r-r'}^{r+r'} dR \\&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) \end{aligned}

으로 구해진다.

중력장과 중력 퍼텐셜 사이 관계에 의해

g(r)=−∇Φ(r)=−4πGρ3r2(b3−a3)r^\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{g}(r) &=-\boldsymbol{\nabla} \Phi(r) \\ &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned}

임을 알 수 있다. 이상의 결과를 정리하면, r>br>b의 영역에서

Φ(r)=−4πGρ3r(b3−a3)g(r)=−4πGρ3r2(b3−a3)r^\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned}

이때, 밀도와 부피의 곱은 전체 질량이고, 그 값을 MM이라 놓으면,

M=ρ⋅43π(b3−a3)\displaystyle \begin{aligned} M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi (b^{3}-a^{3}) \end{aligned}

이므로 이 문제에서

Φ(r)=−GMrg(r)=−GMr2r^\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{GM}{r} \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned}

으로 원점에 질량 MM이 놓인 상황과 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 구면 대칭을 가지는 계의 외부 중력장과 중력 퍼텐셜은 중심에 그 계의 질량과 같은 질점이 놓인 상황일 때와 동일하다는 것을 얻는다.

2.2. 공동 내 [편집]

파일:나무_구각정리_내부-02.png

이 경우는 외부와 달리

r′−r≤R≤r′+r\displaystyle r'-r \leq R \leq r'+r

이므로 중력 퍼텐셜은

Φ(r)=−2πGρr∫abr′ dr′∫r′−rr′+rdR=−2πGρ(b2−a2)\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r'-r}^{r'+r} dR \\&=-{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) \end{aligned}

으로, 구각의 공동에서 중력 퍼텐셜은 위치에 무관한 상수임을 알 수 있다. 그렇기 때문에 공동 내의 중력장은 0이다.

이상의 결과를 정리하면, r<ar<a의 영역에서

Φ(r)=−2πGρ(b2−a2)g(r)=0\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) \\ \mathbf{g}(r) &=0 \end{aligned}

임을 알 수 있다.

2.3. 구각 내부 [편집]

파일:나무_구각정리_속.png

이 문제의 가장 어려운 점은 관측점이 구각 내부(a<r<ba<r<b)에 있을 때의 중력 퍼텐셜을 구해내는 것이다.

위 그림과 같이 반지름 rr인 구면을 하나 고려하게 되면, 구각은 두 부분으로 나누어진다:
  • 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 외부에 있는 경우: a∼ra \sim r 영역
  • 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 내부에 있는 경우: r∼br \sim b 영역
따라서 구각 속의 중력 퍼텐셜은 위 두 나눠진 구각들의 퍼텐셜의 선형 중첩이다. 즉,

Φ(r)=−4πGρ3r(r3−a3)−2πGρ(b2−r2)=−πGρ(2b2−4a33r−2r23)\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (r^{3}-a^{3})-{2 \pi G\rho} (b^{2}-r^{2}) \\ &=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \end{aligned}

으로 쓸 수 있고, 중력 퍼텐셜과 중력장의 관계에 의해

g(r)=−4πGρ3(r−a3r2)r^\displaystyle \mathbf{g}(r)=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}}


이상의 결과를 정리하면, a<r<ba<r<b의 영역에서

Φ(r)=−πGρ(2b2−4a33r−2r23)g(r)=−4πGρ3(r−a3r2)r^\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned}

임을 알 수 있다.

2.4. 결과 종합 [편집]

이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우

Φ(r)={−2πGρ(b2−a2)(r<a)−πGρ(2b2−4a33r−2r23)(a<r<b)−4πGρ3r(b3−a3)(r>b)\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) &\quad (r>b) \end{array}\right.


중력장의 경우

g(r)={0(r<a)−4πGρ3(r−a3r2)r^(a<r<b)−4πGρ3r2(b3−a3)r^(r>b)\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right.


따라서 rr에 대한 그래프를 그려보면 다음과 같다.

파일:나무_구각정리_그래프.png

위의 결과로 퍼텐셜은 경계에서 연속이 된다는 것을 알 수 있다. 또한, 구각의 외부(r>br>b)에서

−Φ(r)∝1r2−g(r)∝1r\displaystyle -\Phi(r) \propto \frac{1}{r^{2}} \qquad \qquad -g(r) \propto \frac{1}{r}

임을 알 수 있다.

3. 유형 2: 구 [편집]

균일한 밀도 ρ\rho로 질량이 분포하는 구의 내·외부 중력장 분포는 위의 구각 문제의 결과를 이용하면 된다. 즉,

a→0\displaystyle a \to 0

를 사용하면 된다. 따라서 구의 내·외부 중력 퍼텐셜과 중력장 분포는

Φ(r)={−πGρ(2b2−2r23)(r<b)−4πb3Gρ3r(r>b)\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi b^{3} G\rho}{3r} &\quad (r>b) \end{array}\right.

특히 r>br>b인 영역에서 (4πb2ρ)/3≡M(4 \pi b^{2} \rho)/3 \equiv M으로 구의 전체 질량으로 표기하면,

Φ(r)=−GMr(r>b)\displaystyle \Phi(r)= -\frac{GM}{r} \quad (r>b)

구에 해당하는 질량의 질점이 구 중심에 있는 상황과 같음을 알 수 있다. 즉, 구면 대칭이 있는 계는 그 계와 동일한 질점이 계의 중심에 놓인 상황과 같은 결과를 얻음을 알 수 있다. 또한, 퍼텐셜은 연속이라는 점을 눈여겨보아라.

중력장은

g(r)={−4πGρ3r(r<b)−4πGρb33r2r^(r>b)\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3}{\mathbf{r}} &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho b^{3}}{3r^{2}} \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right.

으로 결정됨을 알 수 있다. 중력 퍼텐셜과 동일한 논법으로, (4πb2ρ)/3≡M(4 \pi b^{2} \rho)/3 \equiv M을 사용하면, r>br>b인 영역에서 중력장은

g(r)=−GMr2r^(r>b)\displaystyle \mathbf{g}(r)= -\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \quad (r>b)

가 됨을 알 수 있다. 특이한 결과는 r<br<b 영역에서

−g(r)∝r\displaystyle -g(r) \propto r

이란 점이다.

위에서 나온 결과를 rr에 대한 그래프로 그려보면 다음과 같다.

파일:나무_구각정리_유형2_그래프.png

4. 유형 3: 구각 표면에만 질량이 분포하는 경우 [편집]

이번엔 질량이 반지름 aa인 구면에만 균일한 면 밀도 σ\sigma로 분포하는 상황을 살펴보도록 하자. 위의 문제 풀이법을 적용하면 쉽게 구할 수 있다. 상황을 그림으로 나타내면,

파일:나무_구각정리_다른유형.png

이다.

(ⅰ) 구각의 외부: r>a\boldsymbol{r>a}
이 문제는 질량이 구면에 분포하고 있는 점에 유의하여야 한다. 따라서 중력 퍼텐셜은

Φ(r)=−Gσ∫0πa2sin⁡θR dθ∫02πdϕ\displaystyle \Phi (r)=-G \sigma \int_{0}^{\pi} \frac{a^{2}\sin{\theta}}{R}\,d \theta \int_{0}^{2 \pi} d\phi

그런데, 피타고라스 정리에 의해

R2=a2+r2−2arcos⁡θ\displaystyle R^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos{\theta}

rr은 고정되어있고, θ\theta가 변하여, RR이 변하는 상황을 고려하고 있기 때문에

2R dR=2arsin⁡θ dθ\displaystyle 2R\,dR=2ar\sin{\theta}\,d \theta

여기서 나온 결과를 위 중력 퍼텐셜 식에 대입하면,

Φ(r)=−2πaGσr∫dR\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int dR

이 상황에서

r−a≤R≤r+a\displaystyle r-a \leq R \leq r+a

이므로

Φ(r)=−2πaGσr∫r−ar+adR=−4πa2Gσr\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{r-a}^{r+a} dR=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r}

그런데, 면 밀도와 구면의 겉넓이를 곱하면, 4πa2σ≡M4 \pi a^{2} \sigma \equiv M으로,

Φ(r)=−GMr\displaystyle \Phi (r)=-\frac{GM }{r}

따라서 구면 대칭을 가지는 계의 외부 퍼텐셜은 그 계의 총 질량과 같은 질점이 그 계의 중심에 놓여있는 상황과 같다는 것을 알 수 있다. 중력 퍼텐셜과 중력장의 관계에 의해 중력장은 아래와 같이 결정된다:

g(r)=−4πa2Gσr2r^\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}}

마찬가지로, 4πa2σ≡M4 \pi a^{2} \sigma \equiv M를 사용하면,

g(r)=−GMr2r^\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{GM }{r^{2}} \hat{\mathbf{r}}


(ⅱ) 구각의 내부: r<a\boldsymbol{r<a}
이 문제 상황은 위에서

a−r≤R≤a+r\displaystyle a-r \leq R \leq a+r

로 바꾸면 된다. 따라서 중력 퍼텐셜은

Φ(r)=−2πaGσr∫a−ra+rdR=−4πaGσ\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{a-r}^{a+r} dR=-{4 \pi a G \sigma}

으로 공동 내부에선 중력 퍼텐셜은 상수값이 나옴을 알 수 있다. 따라서 중력장은

g(r)=0\displaystyle \mathbf{g} (r)=0

으로 없다.

이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우

Φ(r)={−4πaGσ(r<a)−4πa2Gσr(r>a)\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{4 \pi a G \sigma} &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r} &\quad (r>a) \end{array}\right.

으로 결정됨을 알 수 있다. 계속해서 퍼텐셜은 연속의 결과가 나옴에 유의하라. 중력장의 경우

g(r)={0(r<a)−4πa2Gσr2(r>a)\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} &\quad (r>a) \end{array}\right.

으로 결정된다.

위에서 나온 결과를 rr에 대한 그래프로 그려보면 다음과 같다.

파일:나무_구각정리_유형3_그래프.png

5. 여담 [편집]

  • 이 구각 정리는 "중력장에 대한 가우스 법칙"을 사용하여도 같은 결과를 얻는다.
  • 이 구각 정리는 지구공동설을 반박하는 근거로 잘 쓰인다. 지구에 공동이 존재한다면, 그 공동 안엔 이 문서의 결과에 의해 무중력 상태가 되기 때문이다.
  • 이 구각 정리에 관련해서, 2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번 문제에 출제되기도 했다.[2][3] 이 문서와 같이 수학적으로도 어려운데, 그것을 글로 풀어서 설명한 뒤, 그 설명을 토대로, 단시간 내 선지에서 올바른 답을 고르는 건 국어 영역에 대한 훈련이 철처히 되어 있지 않았다면, 어려웠을 것이다. 결국 한국교육과정평가원은 문제 이의제기 검토 결과를 발표하면서 학생들에게 사과를 했다.[4] 참고로, 이 구각 정리는 물리학과 2학년 고전역학 과목을 배우면서 접하게 된다.
[1] 쉽게 말하면 속이 비어 있는 공이다.[2] 물론 문제 접근 방법이나 대상은 이 문서와는 좀 다르다. 왜냐하면, 해당 문제에서는 구에 대한 중력을 구하는 문제였으며, 그 구를 매우 얇은 구각으로 나눈뒤 각각의 중력을 더해서 구할 수 있다고 했기 때문이다. 그러나 기본적인 원리는 이 문서 또한 같으며, 이에 구각을 매우 작은 부피 요소로 나누고, 각각에 대한 중력 퍼텐셜을 더하여, 구각의 중력 퍼텐셜을 구하고, 이를 통해 구각에 의한 중력장을 구했다.[3] 해당 문제[4] 그런데 그 문제는 단순히 작용 반작용의 법칙만 기억하고 있어도 답을 고를 수 있다. 답이 되는 보기는 '태양의 중심에 있는 질량이 mm인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 MM인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.'인데 작용 반작용 법칙을 생각하면, 당연히 '태양의 중심에 있는 질량이 mm인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력'은 '지구 중심에 있는 질량 MM인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력'과 같은 것이 아니라 '지구 전체가 태양 중심에 있는 질량 mm인 질점을 당기는 만유인력'과 같다는 것을 알 수 있다.

라이선스를 별도로 명시하지 않은 문서는 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다.
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

문서의 기여자는 역사 탭에서 확인할 수 있습니다.
접두어의 N: - 나무위키 사용자, R: - 리그베다 위키의 사용자를 뜻합니다.
자세한 사항은 나무위키에서 동일한 문서의 역사를 참고하시기 바랍니다.